Considere uma função de potência da variável x com o expoente a:
(3) .
Aqui a é um número real arbitrário. Primeiro, considere o caso.
Para encontrar a derivada da função (3), usamos as propriedades da função power e a transformamos na seguinte forma:
.
A fórmula (1) é comprovada.
Derivação de uma fórmula derivada de uma raiz de grau n de x até grau m
Agora considere uma função que é a raiz do seguinte formulário:
(4) .
Para encontrar a derivada, transformamos a raiz em uma função de poder:
.
Comparando com a fórmula (3), vemos que
.
Então
.
Pela fórmula (1), encontramos a derivada:
(1) ,
,
(2) .
Na prática, não há necessidade de lembrar a fórmula (2). É muito mais conveniente primeiro converter as raízes em funções de potência e, em seguida, encontrar suas derivadas usando a fórmula (1) (veja exemplos no final da página).
Derivados de ordem superior
Agora encontramos as derivadas de ordem superior da função de poder
(3) .
O derivado de primeira ordem que já encontramos:
.
Tomando a constante a além do sinal da derivada, encontramos a derivada de segunda ordem:
.
Da mesma forma, encontramos derivadas da terceira e quarta ordens:
,
.
Isso mostra que derivado de n-ordem arbitrária tem o seguinte formato:
.
Note que se a é um número inteiro positivo,, então a enésima derivada é constante:
.
Então todas as derivadas subseqüentes são iguais a zero:
,
às.
